x = (−b±√D)/2a
Lesson 1 · 2

이차방정식의 판별식

The Discriminant

근의 공식 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ 에서 근의 성질을 가르는 것은 근호 안의 $D=b^2-4ac$ 다. 복소수까지 도입했으므로 모든 이차방정식은 근을 가지며, $D$ 의 부호로 실근·허근·중근을 판별한다.

Core · 근의 공식

모든 이차방정식의 근

$ax^2+bx+c=0\ (a\neq0) \Rightarrow x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

계수가 실수일 때, 복소수 범위에서 이차방정식은 항상 근을 갖는다. 근의 종류만 $D$ 가 결정한다.

Core · 판별식

D = b² − 4ac

D > 0

서로 다른 두 실근

D = 0

중근 (한 실근)

D < 0

서로 다른 두 허근

계수가 실수이면 허근은 항상 켤레로 쌍을 이룬다: $p+qi$ 와 $p-qi$.
Interactive · 실험실

판별 실험실

$a, b, c$ 를 끌면 그래프, 판별식, 그리고 근의 공식으로 구한 두 근(실근 또는 켤레 허근)이 동시에 표시됩니다.

a x² + b x + c = 0
Examples · 예제

예제

예제 1 · 허근

$x^2+x+1=0$ 의 근을 구하여라.

  1. $D=1-4=-3<0$ → 서로 다른 두 허근
  2. $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}\,i}{2}$
예제 2 · 판별식 활용

$x^2-2x+k=0$ 이 중근을 갖도록 하는 $k$ 의 값은?

  1. 중근 $\iff D=0$
  2. $D=4-4k=0 \Rightarrow k=1$
Quick Check · 즉문즉답

즉시 점검

Q1. $x^2+x+1=0$ 의 판별식 $D$ 의 값은?
Q2. $x^2-3x+1=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는?
Q3. $x^2-2x+k=0$ 이 중근을 가질 때 $k$ 의 값은?
Practice · 연습

연습 & 무한 연습

01★

$2x^2+x+1=0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 구하여라.

02★

$x^2-4=0$ 의 판별식 $D$ 를 구하여라. ($a=1,b=0,c=-4$)

03★★

$x^2-2x+k=0$ 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 $k$ 의 범위는?

04★★

$x^2-3x+k=0$ 이 허근을 갖도록 하는 $k$ 의 범위는? ($D<0$)

무한 연습 — 근의 판별

근의 종류를 판별하세요. (서로 다른 두 실근 / 중근 / 서로 다른 두 허근)

근호 안이 모든 것을 가른다

$D>0$ 두 실근, $D=0$ 중근, $D<0$ 두 허근(켤레쌍).
복소수 덕분에 이차방정식은 언제나 두 근을 갖는다.

"Under the radical lies the fate of the roots."